A Covariância Galileana e a Transformação de Lorentz

    Screenshot do game Skyrim (o cavalo não é alado).

O mundo físico é um constante jogo, onde os parâmetros gerais não mudam. Não existe bugs. Enquanto o homem na época de Aristóteles acreditava na composição do Universo através de seus sentidos e intuição, sem respaldo científico, hoje, aplicamos condições de contorno e troca de informações entre os referenciais, que torne possível o conhecimento amplo e determinístico à luz da Mecânica Newtoniana. Graças as leis da Física, a criação de tecnologias e sonhos (tidos anteriormente como impossíveis), agora podem ser realizados: novos materiais , escala atômica, viagens entre galáxias e incontáveis outros, revelam-se apenas como questão de tempo. Contudo, o status quo adquirido pela Física no século XXI é de gerar incômodo. lordwilliamthomsonkelvinO pensamento que atingira há alguns séculos, a cabeça de Lord Kelvin, no pedestal da Termodinâmica, representa o quão errado o status pode ser: nada mais existe para descobrirmos na física, restando apenas medidas mais precisas”. Tempos depois, Heisenberg, Dirac e Schroedinger, a partir das soluções de equações diferenciais e enunciados precisos abrem um leque cheio de novidades. A física caminha em passos pequenos, mas todos com sua relevância. Por isso, no post de hoje, irei tratar de um tema com uma abordagem relativamente simples, que possui representações em teoria de grupos (com álgebra de Lie). Meu intuito aqui é de apenas demonstrar a idéia geral e básica, que possa assim ser assimilada por todas as pessoas, mesmo aquelas que não possuem interesse por ciência.

Em essência, a respeito das Leis de Newton, para qualquer referencial, o espaço e tempo não variam. Utilizando a teoria de Grupo Galileana e rotulando coeficientes que especifiquem o objetivo, podemos generalizar um grupo G (por conveniência ao nome). O próposito é caracterizar o espaço e tempo numa representação matemática coerente e aplicável, de modo que, as informações trocadas por diferentes observadores, sejam iguais. Para isso, devemos recorrer a chamada Álgebra de Lie com espaço de 5 dimensões (a,b,u,Q), onde 3 estão relacionadas com o R³ (x,y,z) e as outras duas a massa e ao  tempo. Sendo :

a – translação no espaço
b – translação no tempo
u – velocidade
Q – Rotação do espaço

(r,t) e (r’,t’) são as coordenadas de um evento no espaço-tempo no referencial 1 e referencial 2, respectivamente.

Ambos relacionam-se da seguinte maneira :

r’= Qr + ut + a
t’ = t + b

G(r’,t’)=(a,b,u,Q)(r,t) → Operador.

Nota assim a semelhança com as transformações de Galileu, facilmente demonstradas :

covariância galileana

Que é a transformada de Galileu.

Mesmo que a Teoria de Grupo de Galileu utilize outros elementos, a idéia essencial é a mesma. Perceba que o vetor ut representa o deslocamento do referencial 2 em relação ao 1 . Essa diferença se dá nas distâncias dos vetores r e r’ para com o ponto P.

Assim todas as coisas do Universo foram estabelecidas por séculos. Desde o pequeno, até o grande. “O fluxo do tempo é uma constante para qualquer espaço”, era o que pensávamos, até descobrirmos que o espaço-tempo a depender da velocidade do objeto, é uma variável. Necessita-se de uma nova transformação, diferente da de Galileu. A chamada Transformação de Lorentz (veja o fator Lorentz utilizado no meu post sobre viagens no tempo aqui ). Tal “erro”  se deu com a constatação da inconsistência da teoria em comparação as Equações de Maxwell onde a a luz é uma onda eletromagnética constante no espaço, mas oscilante no tempo. A grande sacada dessa época foram várias! Irei citar as que mais gosto:

1 – Reconhecer que as Leis de Newton  regem os fenômenos eletromagnéticos, tal que não é necessário mudar o escopo de força.

2 –  Declarar que o espaço-tempo é variável devido a incompatibilidade com as Equações de Maxwell. Aqui a descoberta mostra-se a príncipio meramente da Física Matemática.

3 – Propor que a velocidade da luz é uma constante e é o limite de todas as velocidades, ou seja, não é possível ir mais rápido do que a luz* (coisa que a teoria Newtoniana não descartava).

Ora, é de se entender por que Einstein venerava Lorentz. É claro em seus livros, sua admiração por ele. Lorentz preparou o sorvete, e Einstein colocou a cereja.

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A teoria Newtoniana continua válida para velocidades v onde a razão v/c , ( c: constante da velocidade da luz), seja pequena.

Covariância Galileana, não é de Galileu. É uma homenagem ao célebre físico italiano. Somente com as equações diferenciais é possível descrever a invariância, coisa que Galileu não sabia.

Se Lorentz fez o sorvete, Maxwell criou a máquina.

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Sobre Douglas Aleodin

Mestrando em Física pela Universidade Federal da Bahia.
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Uma resposta para A Covariância Galileana e a Transformação de Lorentz

  1. Pablo Rodrigo disse:

    Como ficaria a segunda lei, por transformações de galileu, caso o sistema tivesse massa variável?

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