Lei de Gauss – As duas primeiras Equações de Maxwell

Alguns operadores matemáticos são necessários para a obtenção das 4 Equações de Maxwell em sua forma diferencial . Também o é significativo, na previsão – por estas equações, de que a luz, ou os campos magnéticos e elétricos, tratam-se, na verdade, de ondas.

O campo elétrico e magnético, são vetores e devem ser expressos na notação vetorial. Todo vetor, pode ser escrito como a soma do produto de suas componentes na respectiva direção. Adotei versores  x, y e z chápeu ao invés da usual base (i,j,k).

         (1)

No espaço R³ euclidiano, os versores acima, são representados da seguinte maneira :

Em consequência, o campo elétrico é

Pela Lei de Gauss, a integral do produto escalar do campo com elementos de superfície na direção normal da superfície fechada S, é igual à integral da densidade  (que é variável em relação à posição) no volume V do corpo,  sobre a constante de permissividade εο. Em outras palavras, o fluxo de um campo elétrico, é calculado através da carga envolvida nesta região.

Lei de Gauss para campos elétricos

A integral da densidade de carga em um corpo, nos dá a quantidade de carga dentro da superfície fechada S:

Essa Lei, que é uma das 4 equações que regem o Eletromagnetismo e tudo que funciona na base dele, é muito importante, pois demonstra que a fórmula será a mesma, independente da superfície fechada que tomemos. Por simetria, fica cômodo resolver a integral em superfícies gaussianas esféricas ou cílindricas.

Lei de Gauss para campos magnéticos


Interessante salientar também, que a Lei de Gauss para campos magnéticos é nula. Assim qualitativamente justificado, o fluxo do campo magnético provocado por um imã na superfície fechada é zero. Pode-se visualizar, pela figura abaixo, que todas as linhas de campo magnético que entram, saem. A conclusão, obviamente, não poderia ser outra :  cargas magnéticas inexistem.

7F014

O campo magnético da Terra é análogo ao de um grande imã.

Caso queiramos extender  a análise matemática dos fenômenos resolvidos pela Lei de Gauss, é preciso conhecer alguns operadores diferenciais.

O estudo do divergente, gradiente e rotacional é de extrema importância para deduzir novas relações no Eletromagnetismo.

Divergente

A divergência de uma função potencial vetorial, ou campo vetorial é a magnitude da dispersão da configuração vetorial num ponto qualquer.

Operador nabla :
É o operador do divergente de um campo. 

O divergente do campo vetorial (1) é o produto interno de (1) com nabla :

Rotacional

Quantifica o afastamento ou aproximação de um campo vetorial em uma curva fechada da normal (perpendicular) de superfícies infinitesimais interiores à curva.

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* O espaço aplicado foi  euclidiano em 3 dimensões

 -Essas definições permitem elucidar a Lei de Gauss pelo Teorema da Divergência, bem como as Equações de Maxwell na forma diferencial por Stokes. Até lá!

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Sobre Douglas Aleodin

Estudante de Física pela Universidade Federal da Bahia.
Esse post foi publicado em Física, Física do dia-a-dia e marcado , , , , , , , , , , , , , , , . Guardar link permanente.

2 respostas para Lei de Gauss – As duas primeiras Equações de Maxwell

  1. eu anacleto de sousa estudante 12 anos ensino sengudario quero muita esplicaçao da leu de gauss nas equaçoes.

  2. Bento disse:

    Eu sou Bento Ngovene.
    Tenho enormes dificuldades na aplicacao e o respectivo conceito em relacao a lei de Gauss…

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